Question

如图，直角坐标平面xOy中，点A在x轴上，点C与点E在y轴上，且E为OC中点，BC∥x轴，且BE⊥AE，连接AB，
（1）求证：AE平分∠BAO；
（2）当OE=6，BC=4时，求直线AB的解析式．

Answer 1

（1）证明：取AB的中点D，并连接ED
∵E为OC中点，
∴DE是梯形0ABC的中位线（梯形中位线的定义）
∴DE∥0A即∠DEA=∠EAO
∵BE⊥AE，ED是边AB上的中线
∴ED=AD=AB，
∴∠DEA=∠DAE
∴∠EAO=∠DAE，即AE平分∠BAO

（2）解：设OA为x
∵OE=EC=6，
∴C（0，12），
∵CB=4，且BC∥x轴，
∴B（4，12）
∵ED=AB，
∴AB=2ED=x+4，
在Rt△EBC中，BE²=52，在Rt△OAE中，AE²=36+x²
∴在Rt△BEA中，52+36+x²=（x+4）²，
x=9，
∴A（9，0）
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+．
分析：（1）作直角三角形ABE斜边上的中线，可得DE是梯形的中位线，可得∠DEA=∠EAO，进而根据ED是直角三角形斜边上的中线，可得∠DEA=∠DAE，可得所证；
（2）易得点B的坐标，根据△ABE为直角三角形，利用勾股定理求得OA的长，也求得了点A的坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可．
点评：综合考查梯形，一次函数及勾股定理相关知识；作梯形中位线是常用辅助性方法；得到在直线上的2个点的坐标是解决本题的难点．