Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面积是54．求证：AC⊥BD．

Answer 1

证明：∵AD∥BC，
∴△EAD∽△ECB，
∴AE：CE=DE：BE，
∵AE=4，CE=8，DE=3，
∴BE=6，
S_梯形=（AD+BC）×=54，
∴AD+BC=15，
过D作DF∥AC交BC延长线于F，
则四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD，
∴BF=AD+BC=15，
在△BDF中，BD²+DF²=9²+12²=225，BF²=225，
∴BD²+DF²=BF²，
∴BD⊥DF，
∵AC∥DF，
∴AC⊥BD．
分析：由AD∥BC，可证明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性质即可求出BE的长，过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，所以CF=AD，再根据勾股定理的逆定理证明BD⊥DF即可证明AC⊥BD．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、梯形的面积公式以及勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强，难度中等．