Question

阅读下列材料：
问题：在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置。已知OB=10，BC=6，
将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标.
小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：，于是有，所以在Rt△EOF中，得到，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）

请回答：
（1）如图1，若点E的坐标为，直接写出点A的坐标；
（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
（3）将矩形沿直线折叠，求点A的坐标；
（4）将矩形沿直线折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）作图见解析；（3）（3，6）；（4）.

试题分析：（1）根据矩形和折叠的性质以及勾股定理求解即可.
（2）作AD的垂直平分线交OD于点E，交OB于点F，连接EF，EF即为所求.
（3）过点F作FG⊥DC于点G，通过证明△AEF≌△OEF和△DAE∽△GFAF，根据全等三角形和相似三角形的性质求解.
（4）由于题意中，与k有关的是tan∠AOD，即与Rt△AOD有关，所以我们求解k的取值范围可以转化为求DA的长度的范围.
试题解析：（1）∵根据矩形和折叠的性质，AE=OE=4，DE=2，
∴根据勾股定理，得.
∴.
（2）作图如下：

（3）如图，过点F作FG⊥DC于点G，
∵EF的解析式为，
∴.∴OE=n，OF=2n.
∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=2n.
∵点A在DC上，且∠EAF=90⁰，∴∠1+∠2=90⁰.
又∵∠2+∠3==90⁰，∴∠1=∠2.
∴△DAE∽△GFAF.∴.
又∵FG=CB=6，∴.∴DA=3.
∴点A的坐标为（3，6）.

（4）如图，过点F作FG⊥DC于点G，
∵EF的解析式为，
∴.∴OE=n，OF=.
∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=.
∵点A在DC上，且∠EAF=90⁰，∴∠1+∠2=90⁰.
又∵∠2+∠3==90⁰，∴∠1=∠2.
∴△DAE∽△GFAF.∴.
又∵FG=CB=6，∴.∴DA=.
当DA最小时，点F与点B重合，此时AF=OB=10，BC=6，得AC=8，DA=2，即；
当DA最大时，DA=OD=6，即.
∴.