Question

6．如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴，y轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．
①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；
②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先证明OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB，由此即可解决问题；
（2）①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；
②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，-4），设抛物线的解析式为y=mx²+nx，把（4，-4）代入得到n=-1-4m，可得抛物线的解析式为y=mx²+（-1-4m）²x，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=m{x}^{2}+（-1-4m）x}\end{array}\right.$，消去y得到mx²-4mx-4=0，由题意△=0，可得16m²+16m=0，求出m的值即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，∵∠BAO=45°，
∴AO=BO，
∴$\frac{1}{2}$•OA•OB=8，
∴OA=OB=4，
∴A（4，0），B（0，4）．

（2）①由题意抛物线经过C（-4，0），B（0，4），A（4，0），
顶点为B（0，4），时抛物线解析式为y=ax²+4，（4，0）代入得到a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+4．

②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，-4），
设抛物线的解析式为y=mx²+nx，把（4，-4）代入得到n=-1-4m，
∴抛物线的解析式为y=mx²+（-1-4m）x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=m{x}^{2}+（-1-4m）x}\end{array}\right.$，消去y得到mx²-4mx-4=0，
由题意△=0，∴16m²+16m=0，
∵m≠0，
∴m=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=-{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴N（2，2）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、等腰三角形的性质、待定系数法、一元二次方程的判别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．