Question

如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长240米，下底长360米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向梯形通道，上下底之间有两条纵向矩形通道，横、纵通道的宽度分别为xm、2xm．
（1）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求每条纵向通道的宽；
（2）根据设计的要求，横向通道的宽不能超过6米．如果修建通道的总费用为11.4x万元，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当横向通道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

Answer 1

解：（1）横向甬道的面积为：x=300x（m²）；
依题意：2×80×2x+300x-4x²=××80，
整理得：x²-155x+750=0，
x₁=5，x₂=150（不符合题意，舍去），
∴甬道的宽为5米；

（2）设建设花坛的总费用为y万元．
则y=0.02×[×80-（-4x²+620x）]+11.4x，
=0.08x²-x+480，
当x=-=6.25时，y的值最小．
∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，
∴当x=6米时，总费用最少．
即最少费用为：0.08×6²-6+480=476.88万元．
分析：（1）甬道的形状是梯形，所以根据梯形面积公式即可求解；需要用含x的代数式表示出三条甬道的总面积，然后求出梯形的总面积，从而根据题意列方程求解，在求解过程中要注意三条甬道有重合部分；
（2）首先要根据题意表示出修建花坛的总费用与甬道的宽度之间的函数关系式，从而转化成函数的最值问题进行求解．
点评：此题主要考查了属于几何型二次函数的应用题，二次函数的应用题中考的必考的知识点，往往以压轴题的身份出现，解决这类问题的关键是函数思想的确立、函数模型的建立．考查的能力有转化能力、阅读理解能力；考查的数学思想主要是数学建模思想、数形结合思想．