Question

已知如图（1），AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，OE⊥AC于E，猜想OE与BD的数量关系是

 

．
探索：
①若：AB不是⊙O的直径，其他的条件不变[如图（2）]则（1）中的结论是否成立？如果成立，请给予证明，不成立，请说明理由．
②若：AB，CD的位置关系不变，但其交点在⊙O外[如图（3）]，则上述结论还成立吗？请说明你的判断依据．

Answer 1

考点：垂径定理,三角形中位线定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）首先连接BC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，可得BC=BD，又由OE⊥AC，易得OE是△ABC的中位线，继而证得BD=2OE；
（2）①首先连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，易得OE是△ACF的中位线，则可得CF=2OE，又由圆周角定理与弧与弦的关系，可证得BD=CF，继而证得结论；
②首先连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，易得OE是△ACF的中位线，则可得CF=2OE，又由圆周角定理与弧与弦的关系，可证得BD=CF，继而证得结论．

解答：解：（1）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴BC=2OE，
∴BD=2OE．
故答案为：BD=2OE．

（2）①成立．
理由：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OF，
∵CF=2OE，
∵AF是直径，
∴∠ACF=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∵∠ACH+∠DCF=90°，
∴∠CAH=∠DCF，
∵∠CAH=∠CDB，
∴∠DCF=∠CDB，
∴

BC

=

DF

，
∴

CF

=

BD

，
∴CF=BD，
∴BD=2OE．

②成立．
理由：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OF，
∵CF=2OE，
∵AF是直径，
∴∠ACF=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∵∠ACH+∠DCF=90°，
∴∠CAH=∠DCF，
∵∠CAH=∠CDB，
∴∠DCF=∠CDB，
∴

BC

=

DF

，
∴

CF

=

BD

，
∴CF=BD，
∴BD=2OE．

点评：此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与弦的关系以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．