Question

如图，直线y=

1

2

x+2与x轴交于点A，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点B，EC⊥x轴于C点，且B（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）如图1，若△ABC沿x轴正方向移动得到△DEF，边EF与反比例函数图象交于点P，当点P为边EF的中点时，求阴影部分面积．
（3）在移动过程中过P点作y轴的平行线，交直线AB于点M，当△BPM是等腰三角形时，直接写出AD的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,等腰三角形的性质,平移的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）只需将点B的坐标代入直线解析式，求出点B的坐标，然后再将点B的坐标代入反比例函数的解析式，就可解决问题；
（2）如图1，易求出DC、AC的长，并可证到△DNC∽△ABC，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）过点P作PH⊥BM于H，连接BE，如图2，设AD=a，从而可用a的代数式表示出MP、ME、BM的长，然后分三种情况（①BM=BP，②PM=PB，③MB=MP）讨论，结合等腰三角形的性质，建立关于a的方程，解这个方程就可解决问题．

解答：解：（1）在直线y=

1

2

x+2中，
令y=0，解得x=-4，则点A的坐标是（-4，0）；
令x=2，则有y=1+2=3，则点B的坐标是（2，3）．
∵点B（2，3）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为y=

6

x

；

（2）如图1，
∵EF=BC=3，P是EF的中点，∴点P的纵坐标是

3

2

．
在y=

6

x

中，令y=

3

2

，得

3

2

=

6

x

，解得x=4，
∴P的坐标是（4，

3

2

），
∴F的坐标是（4，0）．
∵B的坐标是（2，3），
∴C的坐标是（2，0），
∴AC=2-（-4）=6，AD=CF=4-2=2．
∴CD=6-2=4．
∵DE∥AB，∴△DNC∽△ABC，
∴

S△DNC

S△ABC

=（

DC

AC

）²=（

4

6

）²=

4

9

，
∴S_△DNC=

4

9

S_△ABC=

4

9

×

1

2

×6×3=4，
∴阴影部分面积为4；

（3）过点P作PH⊥BM于H，连接BE，如图2．
由平移的性质可得：BE∥AD，BC∥EF，BE=AD=CF，BC=EF=3．
设AD=a，则BE=CF=a，
∴x_E=2+a，
∴x_M=x_P=x_F=2+a．
在y=

1

2

x+2中，令x=2+a，得y=

1

2

a+3，则M（2+a，

1

2

a+3），
在y=

6

x

中，令x=a+2，得y=

6

a+2

，则P（2+a，

6

a+2

）．
∴MP=

1

2

a+3-

6

a+2

=

a2+8a

2a+4

．
在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=3，
∴AB=

36+9

=3

5

，
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

6

3 5

=

2 5

5

，cos∠ABC=

BC

AB

=

3

3 5

=

5

5

，tan∠ABC=

AC

BC

=

6

3

=2．
∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠BME，
∴sin∠BME=

2 5

5

，cos∠BME=

5

5

，tan∠BME=2．
∴在Rt△BEM中，sin∠BME=

BE

BM

=

a

BM

=

2 5

5

，tan∠BME=

BE

ME

=

a

ME

=2，
∴BM=

5

2

a，ME=

1

2

a．
在Rt△MHP中，cos∠HMP=

MH

MP

=

5

5

，
∴MH=

5

5

MP．
①若BM=BP，
∵BE∥AD，MF⊥AD，
∴BE⊥MF．
∵BM=BP，BE⊥MP，
∴ME=PE=

1

2

MP，即MP=2ME，
∴

a2+8a

2a+4

=2×

1

2

a，
解得：a₁=0，a₂=4，
经检验：a=4是该方程的解，且满足题意；
②若PM=PB，
∵PM=PB，PH⊥BM，
∴MH=BH=

1

2

BM，即BM=2MH，
∴BM=2×

5

5

MP，
∴

5

2

a=

2 5

5

×

a2+8a

2a+4

，
解得：a₃=0，a₄=2，
经检验：a=2是该方程的解，且满足题意；
③若MB=MP，
则

5

2

a=

a2+8a

2a+4

，
解得：a₅=0，a₆=

3 5 -1

2

，
经检验：a=

3 5 -1

2

是该方程的解，且满足题意；
综上所述：当△BPM是等腰三角形时，AD的值为4或2或

3 5 -1

2

．

点评：本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、直线上点的坐标特征、平移的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、解分式方程、勾股定理等知识，综合性比较强，对运算能力的要求比较高，运用分类讨论的思想，结合等腰三角形的性质建立关于a的方程是解决第（3）小题的关键．