Question

9．如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连AD，BE，F为线段AD的中点，连CF，
（1）如图1，当D点在BC上时，BE=2$\sqrt{5}$，求CF的长；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，求证：BE=2CF，FC⊥BE；
（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点O，若∠DCF=30°，直接写出$\frac{{O{B^2}}}{{O{C^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出△BCE≌△ACD，进而求出AD，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可；
（2）先判断出∠MAC=∠BCE，进而得出△MAC≌△ECB（SAS），即可得出结论；
（3）先求出∠PMC=30°，再根据勾股定理求出OB²=8+4$\sqrt{3}$，OC²=2，即可．

解答 （1）∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE=2$\sqrt{5}$，
∵F为线段AD的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$，
（2）如图，延长CF到M，使FM=FC，连接AM，DM，

又AF=DF，
∴四边形AMDC为平行四边形，
∴AM=CD=CE，∠MAC=180°-∠ACD，
∠BCE=∠BCA+∠DCE-∠ACD=180°-∠ACD，
即∠MAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴△MAC≌△ECB（SAS），
∴CM=BE；∠ACM=∠CBE，
∴BE=CM=2CF；
∴∠CBE+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°，
即BE⊥CF；
（3）设BE、CF交于点P，过O作PM⊥BC；在BC上取一点N，使BN=PN．

∵BE⊥CF，∠DCF=30°，
∴∠POC=60°，
∴∠PBC=∠POC-∠BCO=15°；
∴∠PMC=30°，
设PM=1，则OC=$\sqrt{2}$，ON=2，NM=$\sqrt{3}$，BN=2，
∴OB²=1²+${（{2+\sqrt{3}}）^2}$=8+4$\sqrt{3}$，OC²=2，
∴$\frac{{O{B^2}}}{{O{C^2}}}$=4+2$\sqrt{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是∠MAC=∠BCE．