Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0）、B（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y=kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：
①b＞a；②2a-b＞-1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜-1，
其中正确的结论有

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：计算题

分析：首先根据抛物线的开口方向向下可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，1＜x₁＜2，x₂=-2，说明抛物线的对称轴在-1～0之间，即x=-

b

2a

＞-1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断，即可得到正确的选项．

解答：解：①由图知：抛物线的开口向下，则a＜0．
对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则b＜0
∵-2+x₁=-

b

a

，1＜x₁＜2，
∴0＜

b

a

＜1，
∴b＞a．
故①正确；

②∵抛物线交x轴与点（-2，0）
∴4a-2b+c=0
∵c＞2
∴4a-2b=-c＜-2
即2a-b＜-1．
故②错误；

③∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），
∴4a-2b+c=0
∵b＞a，
∴2b＞2a，
∴4a-2b＞2a，
∴4a-2b+c＞2a+c，即0＞2a+c，
∴2a+c＜0，
故③正确；

⑤如图，过顶点C作CD⊥AB于点D．
则k=-

CD

BD

．
∵CD＞2，BD=AD＜1，
∴

CD

BD

＞2，
∴k＜-2，
故⑤错误；

④∵当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c＞2，
∴a+b＞-2．
又由⑤知，k＜-2，
∴k＜a+b．
故④错误；
综上所述，正确的结论有①③．
故答案是：①③．

点评：本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．