Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥CD，BD=CD，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N，连接DE．下列结论：
①BH=BE； ②EH=DH； ③tan∠EDB=；④；
其中正确的有

1. A.
   ①③④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①④
4. D.
   ①②③

Answer 1

C
分析：首先由BD⊥CD，BD=CD，可求得∠DBC=∠DCB=45°，又由CE平分∠BCD，∠ABC=90°，根据三角形外角的性质与直角三角形的性质，即可求得∠BEH=∠BHE=67.5°，然后由等角对等边，即可求得①正确；由∠ADB=45°，∠EDB＜∠ADB，即可得tan∠EDB＜，可得③错误，利用排除法即可求得答案．
解答：∵BD⊥CD，BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=45°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE=22.5°，
∴∠BHE=∠DBC+∠BCE=67.5°，∠BEC=90°-∠BCE=67.5°，
∴∠BHE=∠BEC，
∴BH=BE；
故①正确；
∵∠HED与∠HDE的大小无法确定，
故EH不一定等于EH，
故②错误；
∵∠ADB=90°-∠ABD=45°，
∴∠EDB＜45°，
∴tan∠EDB＜；
故③错误；
∵EN∥CD，
∴∠CEN=∠DCE=22.5°，
∵∠BHE=67.5°，
∵∠ABD=90°-∠CBD=45°．
∴∠BEH=∠BHE=67.5°，
∴BE=BH，
∴∠ENH=180°-∠CEN-∠EHN=90°，
∴∠ENH=∠ABC，∠NEH=∠BCE=22.5°，
∴△ENH∽△CBE，
∴，
∴，
∵，
∴．
故④正确．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及特殊角三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．