Question

12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，AD为⊙O的直径，AD交BC点E，CE=2，BE=4
（1）求OE的长；
（2）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC、OB，作OF⊥BC于F，在Rt△OEF中，求出OF、EF即可解决问题．
（2）只要证明△AOB是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接OC、OB，作OF⊥BC于F．
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵CE=2，EB=4，
∴BC=6，
∵OF⊥BC，
∴CF=BF=3，
∴OF=BF•tan30°=$\sqrt{3}$，OB=OA=2OF=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OEF中，∵∠OFE=90°，OF=$\sqrt{3}$，EF=1，
∴OE=$\sqrt{O{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．

（2）∵CE=OE，∠ECO=30°，
∴∠ECO=∠EOC=30°，
∴∠EOB=∠BOC-∠EOC=90°，
∴∠AOB=90°，∵$OA=OB=2\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、垂径定理、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．