Question

如图，已知AD=30，点B，C是AD上的三等分点，分别以AB，BC，CD为直径作圆，圆心分别为E，F，G，AP切⊙G于点P，交⊙F于M，N，求弦MN的长．

Answer 1

分析：连接PG、MF，过F作FQ⊥MN于点Q，易证△AFQ∽△AGP，根据相似三角形的性质即可求得QF的长，然后利用垂径定理即可求解．

解答：解：连接PG、MF，过F作FQ⊥MN于点Q．
∵AD=30，点B，C是AD上的三等分点，
∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=5，
则AG=25，PG=5，
∵AD是圆的切线，
∴PG⊥AD，
又∵FQ⊥MN，
∴△AFQ∽△AGP，
∴

FQ

PG

=

AF

AG

=

3

5

，
∴FQ=

3

5

PG=3，
在直角△FQM中，MQ=

MF2-FQ2

=

52-32

=4，
则MN=2MQ=8．

点评：本题是垂径定理，切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用，正确作出辅助线是关键．