Question

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交△ABC的外接圆于点E．下列四个结论：
①∠BAE=∠DBE；②△BAE∽△DBE；③△DBE∽△DAC；④DB：BA=DC：CA，其中正确的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：利用角平分线的定义得到两个圆周角相等，然后得到相等的弧，利用同弧所对的圆周角相等即可得到相等的圆周角，然后可以证明相似三角形并根据相似三角形得到对应边成比例．
解答：∵△ABC的角平分线AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，
∴弧BE=弧CE，
∴∠BAE=∠DBE，
故①正确；
∵∠BAE=∠DBE，∠E=∠E，
∴△BAE∽△DBE，
故②正确；
∵∠EBC=∠EAC，∠E=∠C，
∴△DBE∽△DAC，
故③正确；
∵△BAE∽△DBE，
∴DB：BA=DE：BE；
∵△DBE∽△DAC，
∴DE：BE=DC：BA，
∴DB：BA=DC：CA，
故④正确；
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判断与性质，题目中涉及的知识点比较多，但相对比较简单．