【题目】(本小题12分)如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)求证:∠C=2∠DBE.
(3)若EA=AO=2,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题(1)连接OD,由BC是⊙O的切线,可得∠ABC=90°,由CD=CB,OB=OD,易证得∠ODC=∠ABC=90°,即可证得CD为⊙O的切线.(2)在Rt△OBF中,∠ABD=30°,OF=1,可求得BD的长,∠BOD的度数,又由,即可求得答案.
试题解析:证明:连接OD,
∵BC是⊙O的切线,∴∠ABC=90°,
∵CD=CB, ∴∠CBD=∠CDB,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODC=∠ABC=90°,即OD⊥CD,
∵点D在⊙O上, ∴CD为⊙O的切线.
(2)如图,∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE,
由(1)得:OD⊥EC于点D,∴∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°,
∴∠C=∠DOE=2∠DBE.
(3)作OF⊥DB于点F,连接AD,
由EA=AO可得:AD是Rt△ODE斜边的中线,
∴AD=AO=OD,∴∠DOA=60°,∴∠OBD=30°,
又∵OB=AO=2,OF⊥BD,∴ OF=1,BF=,
∴BD=2BF=2,∠BOD=180°-∠DOA =120°,
∴.
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【题目】(1)如图,已知点 A(﹣4,4),一个以 A 为顶点的 45°角绕点 A 旋转,角 的两边分别交 x 轴正半轴,y 轴负半轴于 E、F,连接 EF.当△AEF 是直角三角形 时,点 E 的坐标是_________
(2)已知实数 x+y=12,则的最小值是_____
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【题目】如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M。
(1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度数;
(2)若CN⊥AM,垂足为N,求证:△ACN≌△MCN。
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【题目】如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段BC扫过的面积为________.
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【题目】如图,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)
(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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【题目】某校为了更好的开展校园综合实践活动,准备购买一批篮球和足球.已知篮球的单价比足球的单价贵40元,花1500元购买的篮球的个数与花900元购买的足球的个数恰好相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元?
(2)若学校恰好用完1000元购买篮球和足球,则篮球和足球购买的都有的方案有哪几种?
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【题目】如图,直线与轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′,则点B'的坐标是( )
A. (4, ) B. (,4) C. (,3) D. (, )
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