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【题目】(本小题12分)如图,AB⊙O的直径,BC⊙O的切线,D⊙O上的一点,CD=CB,延长CDBA的延长线于点E

1)求证:CD⊙O的切线;

2)求证:∠C=2∠DBE

3)若EA=AO=2,求图中阴影部分的面积.(结果保留π

【答案】1)详见解析;(2

【解析】

试题(1)连接OD,由BC⊙O的切线,可得∠ABC=90°,由CD=CBOB=OD,易证得∠ODC=∠ABC=90°,即可证得CD⊙O的切线.(2)在Rt△OBF中,∠ABD=30°OF=1,可求得BD的长,∠BOD的度数,又由,即可求得答案.

试题解析:证明:连接OD

∵BC⊙O的切线,∴∠ABC=90°

∵CD=CB∴∠CBD=∠CDB

∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB

∴∠ODC=∠ABC=90°,即OD⊥CD

D⊙O上, ∴CD⊙O的切线.

2)如图,∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE

由(1)得:OD⊥EC于点D∴∠E+∠C=∠E+∠DOE90°,

∴∠C=∠DOE2∠DBE

3)作OF⊥DB于点F,连接AD

EA=AO可得:ADRt△ODE斜边的中线,

∴AD=AO=OD,∴∠DOA=60°∴∠OBD=30°

∵OB=AO=2OF⊥BD∴ OF=1BF=

∴BD=2BF=2∠BOD=180°-∠DOA =120°

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