Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；
（2）如果AD，AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；
（3）试在（1）（2）的基础上，提出一个有价值的问题（不必解答）．

Answer 1

分析：（1）连接OD，BD，根据图形中角与角之间的关系易得∠EDO=90°，故OD⊥DE，DE与半圆O相切；
（2）求解方程可得AD，AB的长，同时易得Rt△ABD∽Rt△ACB，即AB²=AD•AC，根据勾股定理可得BC的长；
（3）根据题意，提出问题即可，如求四边形ABED的面积，符合题意即可．

解答：解：（1）DE与半圆O相切．
证明：连接OD，BD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠BDA=∠BDC=90°．
∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点，
∴DE=BE=

1

2

BC，得∠EBD=∠BDE．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，故DE与半圆O相切．

（2）∵BD⊥AC，
∴Rt△ABD∽Rt△ACB．
∴

AB

AC

=

AD

AB

．
即AB²=AD•AC．
∴AC=

AB2

AD

．
∵AD，AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，
∴解方程得x₁=4，x₂=6．
∵AD＜AB，
∴AD=4，AB=6．
∴AC=

AB2

AD

=

62

4

=9．
又∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=9，
∴BC=

AC2-AB2

=

81-36

=3

5

．

（3）问题1：求四边形ABED的面积；
问题2：求两个弓形的面积；
问题3：求

AD

：

BD

的值．

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．