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【题目】如图,MN是O的直径,QN是O的切线,连接MQ交O于点H,E为上一点,连接ME,NE,NE交MQ于点F,且ME2=EFEN.

(1)求证:QN=QF;

(2)若点E到弦MH的距离为1,cosQ=,求O的半径.

【答案】(1)证明见解析;(2)2.5.

【解析】

试题分析:(1)如图1,通过相似三角形(MEF∽△MEN)的对应角相等推知,1=EMN;又由弦切角定理、对顶角相等证得2=3;最后根据等角对等边证得结论;

(2)如图2,连接OE交MQ于点G,设O的半径是r.根据(1)中的相似三角形的性质证得EMF=ENM,所以由圆周角、弧、弦间的关系推知点E是弧MH的中点,则OEMQ;然后通过解直角MNE求得cosQ=sinGMO=,则可以求r的值.

试题解析:(1)如图1,

ME2=EFEN,

∵∠MEF=MEN,

∴△MEF∽△MEN,

∴∠1=EMN.

∵∠1=2,3=EMN,

∴∠2=3,

QN=QF;

(2)解:如图2,连接OE交MQ于点G,设O的半径是r.

由(1)知,MEF∽△MEN,则4=5.

OEMQ,

EG=1.

cosQ=,且Q+GMO=90°

sinGMO=

,即

解得,r=2.5,即O的半径是2.5.

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