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    如图，抛物线y=ax2+bx-3a（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
    （1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；
    （2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；
    （3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．
    考点：二次函数综合题
    专题：代数几何综合题
    分析：（1）把点A（-1，0）和点C（0，2）的坐标代入所给抛物线可得a、b的值，进而得到该抛物线的解析式和对称轴，再求出点B的坐标，根据中点坐标公式求出线段BC的中点坐标即可；
    （2）根据平移的性质可知，点C的对应点C1的横坐标为-2，再代入抛物线可求点C1的坐标，进一步得到m的值；
    （3）B、C为定点，可分BC为平行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点P的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3a（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），
    ∴
    a-b-3a=0
    -3a=2
    ，
    解得
    a=-
    2
    3
    b=
    4
    3
    ．
    ∴抛物线的解析式为y=-
    2
    3
    x2+
    4
    3
    x+2=-
    2
    3
    （x-1）2+2
    2
    3
    ，
    ∴对称轴是x=1，
    ∵1+（1+1）=3，
    ∴B点坐标为（3，0），
    ∴BC的中点坐标为（1.5，1）；

    （2）∵线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，
    ∴点C1的横坐标为-2，
    当x=-2时，y=-
    2
    3
    ×（-2）2+
    4
    3
    ×（-2）+2=-
    10
    3
    ，
    ∴点C1的坐标为（-2，-
    10
    3
    ），
    m=2-（-
    10
    3
    ）=5
    1
    3
    ；

    （3）①若BC为平行四边形的一边，
    ∵BC的横坐标的差为3，
    ∵点Q的横坐标为1，
    ∴P的横坐标为4或-2，
    ∵P在抛物线上，
    ∴P的纵坐标为-3
    1
    3
    ，
    ∴P1（4，-3
    1
    3
    ），P2（-2，-3
    1
    3
    ）；
    ②若BC为平行四边形的对角线，
    则BC与PQ互相平分，
    ∵点Q的横坐标为1，BC的中点坐标为（1.5，1），
    ∴P点的横坐标为1.5+（1.5-1）=2，
    ∴P的纵坐标为-
    2
    3
    ×22+
    4
    3
    ×2+2=2，
    ∴P3（2，2）．
    综上所述，点P的坐标为：P1（4，-3
    1
    3
    ），P2（-2，-3
    1
    3
    ），P3（2，2）．
    点评：考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，中点坐标公式，平移的性质，平行四边形的性质，注意分BC为平行四边形的一边或为对角线两种情况进行探讨．
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    3
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    ∴
     
    ∥
     
    ．
     

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    ．
     

    又∵∠1=∠2（已知），
    ∴∠1=∠
     
    ．
    ∴DF∥BC．
     
    ．

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