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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    数学课上，张老师出示了问题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE＝EF

    经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连结ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．

    在此基础上，同学们作了进一步的研究：

    (1)小颖提出：如图，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

    (2)小华提出：如图，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)正确　　(1分)

    　　证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连结ME，　　(2分)

    　　∴BM＝BE．∴∠BME＝45°．∴∠AME＝135°．

    　　∵CF是外角平分线，

    　　∴∠DCF＝45°

    　　∴∠ECF＝135°

    　　∴∠AME＝∠ECF

    　　∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋∠CEF＝90°

    　　∴∠BAE＝∠CEF．

    　　∴△AME≌△ECF(ASA)　　(5分)

    　　∴AE＝EF　　(6分)

    　　(2)正确　　(7分)

    　　证明：

    　　在BA的延长线上取一点N，

    　　使AN＝CE，连接NE　　(8分)

    　　∴BN＝BE．

    　　∴∠N＝∠FCE＝45°

    　　∵四边形ABCD是正方形，

    　　∴AD∥BE．

    　　∴∠DAE＝∠BEA

    　　∴∠NAE＝∠CEF

    　　∴△ANE≌△ECF(ASA)　　(10分)

    　　∴AE＝EF　　(11分)


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

    经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
    在此基础上，同学们作了进一步的研究：
    （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
    （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
    （1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线--过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
    （2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
    （3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•上海模拟）数学课上，张老师出示图1和下面框中条件：

    请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题：
    （1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得
    AM
    DM
    的值为
    1
    1
    ；
    ②在平移过程中，
    AM
    DM
    的值为
    x
    2
    x
    2
    （用含x的代数式表示）；
    （2）艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．
    当点A落在线段DF上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算
    AM
    DM
    的值；
    （3）艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转m度，0＜m≤90，原题中的其他条件保持不变．请你计算
    AM
    DM
    的值（用含x的代数式表示）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    数学课上，张老师出示了问题：如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB⊥BF，点P为BC上任意一点，且AP⊥PF，请问：AP与PF相等吗？请说明理由．
    如果把“点P是边BC上任意一点”改为“点P是边CB上（除B，C外）延长线上的任意一点”，其它条件不变，那么结论还成立吗？如果正确，请画出图形，写出证明过程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24．数学课上，张老师出示了问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点．∠ADE=60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E，求证：AD=DE．
    经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接MD，则△BMD是等边三角形，易证△AMD≌△DCE，所以AD=DE．
    在此基础上，同学们作了进一步的研究：
    （1）小颖提出：如图2，如果把“点D是边BC的中点”改为“点D是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AD=DE”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
    （2）小亮提出：如图3，点D是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AD=DE”仍然成立．你认为小华的观点
    正确
    正确
    （填“正确”或“不正确”）．

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