Question

11．如图，AB为⊙O的直径，过⊙O外一点P作圆的两条切线，切点分别为点A和点C，连接BC和OP．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若AB=AP，连接PB，求sin∠PBC值．

Answer 1

分析 （1）只要证明OP⊥AC，BC⊥AC即可解决问题；
（2）根据sin∠PBC=sin∠BPO=$\frac{DO}{OP}$，设OA=OB=x，由AB=AP，∠PAB=90°，可得∠OBD=∠DOB=45°，推出OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，OP=$\sqrt{5}$x，由此即可解决问题；

解答 （1）证明∵PA、PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，∵OC=OA，
∴OP⊥AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥CB，
∴BC∥OP．

（2）解：过O作OD⊥PB于D．
sin∠PBC=sin∠BPO=$\frac{DO}{OP}$，设OA=OB=x，
∵AB=AP，∠PAB=90°，
∴∠OBD=∠DOB=45°，
∴OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，OP=$\sqrt{5}$x，
∴sin∠PBC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查切线的性质、直径的性质、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．