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【题目】如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 ,AC,BD相交于点O.
(1)求边AB的长;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G. ①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;
②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.

【答案】
(1)解:∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,

∴△AOB为直角三角形,且OA= AC=1,OB= BD=

在Rt△AOB中,由勾股定理得:

AB= = =2


(2)解:①△AEF是等边三角形.理由如下:

∵由(1)知,菱形边长为2,AC=2,

∴△ABC与△ACD均为等边三角形,

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°,

又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°,

∴∠BAE=∠CAF.

在△ABE与△ACF中,

∴△ABE≌△ACF(ASA),

∴AE=AF,

∴△AEF是等腰三角形,

又∵∠EAF=60°,

∴△AEF是等边三角形.

②BC=2,E为四等分点,且BE>CE,

∴CE= ,BE=

由①知△ABE≌△ACF,

∴CF=BE=

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°(三角形内角和定理),

∠AEG=∠FCG=60°(等边三角形内角),

∠EGA=∠CGF(对顶角)

∴∠EAC=∠GFC.

在△CAE与△CFG中,

∴△CAE∽△CFG,

,即

解得:CG=


【解析】(1)根据菱形的性质,确定△AOB为直角三角形,然后利用勾股定理求出边AB的长度;(2)①本小问为探究型问题.要点是确定一对全等三角形△ABE≌△ACF,得到AE=AF,再根据已知条件∠EAF=60°,可以判定△AEF是等边三角形;②本小问为计算型问题.要点是确定一对相似三角形△CAE∽△CFG,由对应边的比例关系求出CG的长度.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用勾股定理的概念和菱形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半.

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①AC=FG;②SFAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC,
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C.3
D.4

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