【题目】如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 ,AC,BD相交于点O.
(1)求边AB的长;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G. ①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;
②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.
【答案】
(1)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴△AOB为直角三角形,且OA= AC=1,OB= BD= .
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
AB= = =2
(2)解:①△AEF是等边三角形.理由如下:
∵由(1)知,菱形边长为2,AC=2,
∴△ABC与△ACD均为等边三角形,
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°,
又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE与△ACF中,
∵ ,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形,
又∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形.
②BC=2,E为四等分点,且BE>CE,
∴CE= ,BE= .
由①知△ABE≌△ACF,
∴CF=BE= .
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°(三角形内角和定理),
∠AEG=∠FCG=60°(等边三角形内角),
∠EGA=∠CGF(对顶角)
∴∠EAC=∠GFC.
在△CAE与△CFG中,
∵ ,
∴△CAE∽△CFG,
∴ ,即 ,
解得:CG=
【解析】(1)根据菱形的性质,确定△AOB为直角三角形,然后利用勾股定理求出边AB的长度;(2)①本小问为探究型问题.要点是确定一对全等三角形△ABE≌△ACF,得到AE=AF,再根据已知条件∠EAF=60°,可以判定△AEF是等边三角形;②本小问为计算型问题.要点是确定一对相似三角形△CAE∽△CFG,由对应边的比例关系求出CG的长度.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用勾股定理的概念和菱形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半.
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【题目】如图所示,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于M,N两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的范围.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BD⊥AC,垂足为P.
(1)请作出Rt△ABC的外接圆⊙O;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)点D在⊙O上吗?说明理由;
(3)试说明:AC平分∠BAD.
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【题目】已知双曲线y= (x>0),直线l1:y﹣ =k(x﹣ )(k<0)过定点F且与双曲线交于A,B两点,设A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1<x2),直线l2:y=﹣x+ .
(1)若k=﹣1,求△OAB的面积S;
(2)若AB= ,求k的值;
(3)设N(0,2 ),P在双曲线上,M在直线l2上且PM∥x轴,问在第二象限内是否存在一点Q,使得四边形QMPN是周长最小的平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求证:AD=BC;
(2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.
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【题目】如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:
①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC,
其中正确的结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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