Question

8．在直角坐标系中，点C的坐标为（-3，0），将线段OC绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过C，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线上一动点，且在x轴的下方，那么△PCB是否有最大值面积？若有，求出此时P点的坐标及△PCB的最大面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点B作BD⊥x轴于点D，由点C的坐标以及旋转的角度即可得出OB=3、∠BOD=60°，通过解直角三角形以及勾股定理即可得出OD、BD的长度，结合点B所在的象限即可得出点B的坐标；
（2）设经过C，O，B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0），根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出经过C，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）假设存在，过点P作PE∥y轴交BC于点E，根据点B、C的坐标即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m）（-3＜m＜0），则点E的坐标为（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），根据三角形的面积公式即可得出S_△PBC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（m+\frac{3}{4}）^{2}$+$\frac{81\sqrt{3}}{32}$，再根据二次函数的性质即可解决最值问题，此题得解．

解答 解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．
∵点C的坐标为（-3，0），将线段OC绕原点O顺时针旋转120°，
∴OB=OC=3，∠BOD=60°，
∴∠OBD=30°，OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴点B的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
（2）设经过C，O，B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0），
将点B（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）、C（-3，0）代入y=ax²+bx中，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{9a-3b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2\sqrt{3}}{9}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴经过C，O，B三点的抛物线的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．
（3）假设存在，过点P作PE∥y轴交BC于点E，如图2所示．
设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0），
将C（-3，0）、B（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）代入y=kx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+c=0}\\{\frac{3}{2}k+c=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
设点P的坐标为（m，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m）（-3＜m＜0），则点E的坐标为（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PE•（x_B-x_C）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{m}^{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$m+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（m+\frac{3}{4}）^{2}$+$\frac{81\sqrt{3}}{32}$．
∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
∴当m=-$\frac{3}{4}$时，S_△PBC取最大值$\frac{81\sqrt{3}}{32}$，此时点P的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、解直角三角形、勾股定理以及二次函数的性质，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．