Question

11．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，点O在AB上，以OA为半径的⊙O与BC边相切于点D，与AB边相交于点E，连接AD、DE．
（1）求证：∠BDE=∠DAB；
（2）若AB=12，AC=5，求tan∠BDE的值．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得：∠ODB=90°，由同圆的半径相等可得：OD=OE，则∠ODE=∠OED，利用直径所对圆周角是直角和同角的余角相等可得结论；
（2）连接CO，证明Rt△ACO≌Rt△CDO得：∠AOC=∠DOC，∠ACO=∠DCO，AC=CD=5，根据等腰三角形三线合一的性质得：AD⊥CO，则CO∥ED，利用勾股定理得：BC=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，则BD=8，由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{BE}{OE}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{8}{5}$，设BE=8x，OE=5x，则AO=5x，由AB=12，列式可得x的值，从而得结论．

解答 证明：（1）连接OD，
∵BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∴∠ODE+∠BDE=90°，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠OED+∠BDE=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAB+∠OED=90°，
∴∠BDE=∠DAB；
（2）连接CO，
在Rt△ACO和Rt△CDO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{AO=DO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACO≌Rt△CDO（HL），
∴∠AOC=∠DOC，∠ACO=∠DCO，AC=CD=5，
∴AD⊥CO，
∵AD⊥DE，
∴CO∥ED，
∴∠BDE=∠OCD，
∴∠BDE=∠OCD=∠ACO，
在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴BD=13-5=8，
∵OC∥ED，
∴$\frac{BE}{OE}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{8}{5}$，
设BE=8x，OE=5x，则AO=5x，
∵AB=12，
∴5x+5x+8x=12，
x=$\frac{2}{3}$，
∴AO=5x=5×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴tan∠ACO=tan∠BDE=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\frac{10}{3}}{5}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．