Question

1．设△ABC中，∠BAC=60°，∠ATC=∠BTC=∠BTA=120°，点M是BC的中点．求证：TA+TB+TC=2AM．

Answer 1

分析 延长AM到K，使得MK=AM，连接BK，将△ATC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，连接TF．首先证明B、T、F、E共线，BE=BT+AT+TC，再证明△ABK≌△BAE，可得BE=AK=2AM，延长即可解决问题．

解答 证明：延长AM到K，使得MK=AM，连接BK，将△ATC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，连接TF．

∵AT=AF，∠TAF=60°，
∴△ATF是等边三角形，
∴TA=TF，∠ATF=∠AFT=60°，
∵∠ATB=∠ATC=∠AFE=120°，
∴∠ATB+∠ATF=180°，∠AFT+∠AFE=180°，
∴B、T、F、E共线，
∴BE=BT+TF+EF=BT+AT+TC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=120°，
∵AM=MK，BM=MC，
∴四边形ABKC是平行四边形，
∴AC∥BK，
∴∠ABK+∠BAC=180°，
∴∠ABK=∠BAE=120°，
∵AB=BA，BK=AC=AE，
∴△ABK≌△BAE，
∴BE=AK=2AM，
∴TA+TB+TC=2AM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会中线延长一倍构造全等三角形，题目有一定的难度．