Question

（2013•普陀区模拟）已知点A，B，C是半径为2的圆0上的三个点，其中点A是劣弧BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AB、AC，点D、E分别在弦AB，AC上，连接OD、OE．

（1）当点A为劣弧BC的中点时，且满足AD=CE（如图①）
①求证：OD=OE；
②当BC=2

2

时，求∠DOE的度数；（如图②）
（2）当BC=2

2

，且OD⊥AB，OE⊥AC时（如图③），设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①根据由点A为劣弧BC的中点知

AB

=

AC

，故

AF

=

CG

，进而得出△BOD≌△AOE（SAS）即可得出DO=EO；
②首先得出△BOC为等腰直角三角形，再利用∠BDO=∠AOE，得出∠DOE=∠AOD+∠BOD=∠AOB求出即可；
（2）首先求出OD的长，进而得出OD边上的高EG，再利用三角形面积公式求出即可．

解答：（1）①证明：如图①作直径BF，直径AG，
则：由点A为劣弧BC的中点知

AB

=

AC

，
故

AF

=

CG

，
∴∠OAE=∠OBD，
∵在△BOD和△AOE中

AE=BD ∠EAO=∠DBO AO=BO

∴△BOD≌△AOE（SAS），
∴OD=OE；

②解：如图②连接OB，OC，BC
∵OB=OC=2，BC=2

2

，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠BOC=90°，
由△BOD≌△AOE知，
∴∠BDO=∠AOE，
∴∠DOE=∠AOD+∠BOD=∠AOB=45°；

（2）解：如图③，过点E作EG⊥DO于点G，
∵BD=x，圆的半径为2，
∴OD=

4-x2

，
∵BC=2

2

，
∴DE=

1

2

BC=

2

，
∴OD边上的高EG=

4-x2 +x

2

，
y=

1

2

OD×EG
=

1

2

4-x2

×

4-x2 +x

2

=

4-x2+x 4-x2

4

（0＜x＜

2

）．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质和三角形面积公式等知识，熟练利用圆周角定理得出∠OAE=∠OBD是解题关键．