Question

在-次数学活动课上，老师出了-道题：

  (1)解方程x²-2x-3=0.

    巡视后老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。

  接着,老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：

  (2)解关于x的方程mx²+(m一3)x一3=0(m为常数，且m≠0).

    老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着,老师将第二道题变式为第三道题：

(3)已知关于x的函数y=mx²+(m-3)x-3(m为常数).

 ①求证：不论m为何值,此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点(设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C)；   

  ②若m≠0时,设此函数的图象与x轴的另一个交点为反B,当△ABC为锐角三角形时,求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围.

   请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.   

Answer 1

解：（1）由x²－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0∴x₁=1,x₂=3               …………3分

（2）方法一：由mx²+(m－3)x－3=0得（x+1）·(mx－3)=0

∵m≠0, ∴x₁=－1,x₂=                                  …………3分

方法2：由公式法：

∴x₁=－1,x₂=

（3）①1°当m=0时，函数y= mx²+(m－3)x－3为y=－3x－3，令y=0,得x=－1

令x=0,则y=－3. ∴直线y=－3x－3过定点A（－1,0）,C（0，－3） …………2分

2°当m≠0时，函数y= mx²+(m－3)x－3为y=（x+1）·(mx－3)

∴抛物线y=（x+1）·(mx－3)恒过两定点A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0）

②当m>0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（－1，0）,C（0，－3）和

B（，0），                                                …………1分

观察图象，可知，当⊿ABC为Rt⊿时，

则⊿AOC∽⊿COB∴

∴∴3²=1×

∴OB=9.即B(9,0)

∴当.即：m＞

当m>时，⊿ABC为锐角三角形                               …………2分

②观察图象可知

当0<m<时，则B点在（9,0）的右边时，∠ACB>90º,

当m<0且m≠－3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合.

∴⊿ABC中的∠ABC>90º

∴⊿ABC是钝角三角形.

∴当0<m<或m<0且m≠－3时，

⊿ABC为钝角三角形                                         …………2分