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精英家教网在一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向的河宽,如图所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行20米到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(参考数值:tan31°≈
3
5
,sin31°≈
1
2
分析:河宽就是点C到AB的距离,因此过点C作CD⊥AB,垂足为D,根据AB=AD-BD=20,通过解两个直角三角形分别表示AD、BD的方程求解.
解答:精英家教网解:过点C作CD⊥AB,垂足为D,
设CD=x米,
在Rt△BCD中,∠CBD=45°,
∴BD=CD=x米.
在Rt△ACD中,∠DAC=31°,
AD=AB+BD=(20+x)米,CD=x米,(3分)
∵tan∠DAC=
CD
AD

x
20+x
=
3
5

解得x=30.
经检验x=30是原方程的解,且符合题意.
答:这条河的宽度为30米.(6分)
点评:“化斜为直”是解三角形的基本思路,因此需作垂线(高)构造直角三角形.
练习册系列答案
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(参考数据:sin37°≈
3
5
,tan37°≈
3
4
,sin21°≈
9
25
,tan21°≈
3
8

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cm.

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