Question

8．如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F，EF⊥AC，连结AF、CE．
（1）求证：OE=OF；
（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA=CO，再证明△AEO≌△CFO可得OE=OF；
（2）根据△AEO≌△CFO可得AE=CF，然后可得四边形AECF平行四边形，再由条件EF⊥AC可得四边形AECF是菱形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，OA=CO，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AEO和△CFO中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF；

（2）答：四边形AECF是菱形，
∵△AEO≌△CFO，
∴AE=CF，
∵AE∥FC，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．