Question

如图，ABCD是一个正方形，P、Q是正方形外两点，且△APD和△BCQ是等边三角形，则∠PQD的正切值是

1. A.
   2-
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：连结AQ，通过证明△ABQ≌△DCQ，就可以得出PQ是AD的中垂线，可以得出PQ是BC的中垂线，就可以表示出QE的值，CE的值，就可以求出∠PQD的正切值．
解答：连结AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC．
∴∠AFQ=∠BEQ．
∵△APD和△BCQ是等边三角形，
∴PD=PA=AD，BQ=CQ=BC，∠BCQ=∠CBQ=60°，
∴∠DCB+∠BCQ=∠ABC+∠CBQ，
∴∠DCB=∠BBQ．
∵在△DCQ和△ABQ中，
，
∴△DCQ≌△ABQ（SAS），
∴DQ=AQ．
∵DQ=AP，
∴PQ是AD的中垂线，
∴∠AFQ=∠AFP=90°，DF=AD，
∴∠BEQ=90°，
∴CE=BC．
设BC=a，则CE=DF=a，EF=a，在Rt△QEC中，由勾股定理，得
QE=a，
∴FQ=a+a，
∴tan∠PQD==2-．
故选A．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，锐角三角函数的运用．解答时作出辅助线证明三角形全等是关键．