Question

2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是直径AB垂直平分线上一点（C，D在AB的两侧），∠ADB=α．
（1）如图1，当α=90°，AC=4，BC=2，则CD=3$\sqrt{2}$；
（2）如图2，当α=60°，AC=4，CD=2$\sqrt{13}$，求BC的长；
（3）如图3，当α=30°，AB=2，则线段CD的最大值=3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AB，再利用垂直平分线得出AD=BD，进而求出BD，最后用勾股定理即可得出结论；
（2）先判断出CE=BC，AE=CD，再构造出含30°的直角三角形，建立方程求解即可；
（3）先判断出CD最大是必过圆心，再用特殊直角三角形即可求出结论．

解答 解：（1）如图1，

过点D作DE⊥CB交CB延长线于E，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠BCD=∠BAD=45°，
∴DE=CE=BC+BE=2+BE，
在Rt△ABC中，AC=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵点D是AB垂直平分线上，
∴AD=BD，
在Rt△ABD中，BD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{10}$，
∴BE²+DE²=BD²，
∴BE²+（2+BE）²=10，
∴BE=1，∴CE=3，
∴CD=$\sqrt{2}$CE=3$\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$；
（2）如图2，将线段绕BC点B逆时针旋转60°，连接CE，AE，
∵点D是AB垂直平分线上，
∴AD=BD，
∵∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴CE=BC，AE=CD=2$\sqrt{13}$，∠BCE=60°，
过点E作EF⊥AC交AC延长线于F，
∵∠BCF=90°，
∴∠ECF=30°，
在Rt△CEF中，EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$BC，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴AF=AC+CF=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF²+EF²=AE²，
∴（4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC）²+（$\frac{1}{2}$BC）²=52，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
（3）如图3，当CD最大时，CD过圆心O，连接DO并延长交圆于C'，
即：DC'就是最大的CD，
∵点D是直径AB的垂直平分线上，
∴∠AOD=∠AOC'=90°，连接C'A，过点D作DE⊥C'A交C'A的延长线于E，
在Rt△AOC'中，OA=OC'=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AC'=$\sqrt{2}$，∠AC'D=45°，
∴C'D=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$C'E=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+AE），
在△ADC'中，∠ADC'=$\frac{1}{2}$∠ADB=15°，
∴∠DAE=∠AC'D+∠ADC'=60°，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=AE+AC=AE+$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1），
∴C'D=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+AE）=$\sqrt{2}$[$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1）]=3+$\sqrt{3}$，
故答案为：3+$\sqrt{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，特殊的直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线，构造出含30°的直角三角形，将AC和CD转化到同一个三角形中，是解本题的难点．