Question

17．如图1，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外做等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F
（1）若AF=10，DF=3，试求EF的长；
（2）若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，易证△ABF≌△ACF，即可求得BF=CF、∠ACF=∠ABF，进而可以求证△EBH≌△ABF，即可求得EH=AF，即可求得EF的长．
（2）结论：EF=AF+2DF．证明方法类似（1）．

解答 （1）解：连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，

∵AB=AC，AD是BC中线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AC=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠BFH=∠EAB=60°，
∴△BFH为等边三角形，
∴∠FBH=∠EBA=60°，
∴∠ABF=∠EBH，
在△EBH和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠ABF=∠EBH}\\{HB=FB}\end{array}\right.$，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF=10，∠BEH=∠BAF，
∴∠AFE=∠ABE=60°，
∴∠AFB=120°，∠BFD=60°，∠FBD=30°，
∴BF=2DF=6，
∴HF=BF=6，
∴EF=EH+HF=16．

（2）补全的图如图所示，结论：EF=AF+2DF．理由如下：

连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，
∵AB=AC，AD是BC中线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AC=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠BFH=∠EAB=60°，
∴△BFH为等边三角形，
∴∠FBH=∠EBA=60°，
∴∠ABF=∠EBH，
在△EBH和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠ABF=∠EBH}\\{HB=FB}\end{array}\right.$，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF，∠BEH=∠BAF，
∴∠AFE=∠ABE=60°，
∴∠AFB=120°，∠BFD=60°，∠FBD=30°，
∴BF=2DF
∴EF=EH+HF=AF+BF=AF+2DF．
∴EF=AF+2DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，本题中求证△ABF≌△ACF和△EBH≌△ABF是解题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．