Question

如图，矩形ABCD中，将△BCD沿BD翻折至△BDE的位置，BE与AD相交于O点，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若∠DBC=30°，AB=2，求四边形ABDE面积．

Answer 1

分析：（1）先由矩形及折叠的性质得出∠ODB=∠OBD，则OB=OD，易得OA=OE，则在等腰△OAE与等腰△OBD中，有一对对顶角相等，可得∠OAE=∠ODB，证得AE∥BD，又由AB=DE，则可得四边形ABDE是等腰梯形；
（2）过A点作△ABE的高AF，先由折叠的性质得出∠DBE=∠DBC=30°，BE=BC=2

3

，再结合矩形的性质得出∠ABE=30°，解直角△ABF，求出AF=1，从而得到△ABE的面积=

3

，又△BED的面积=△BCD的面积=2

3

，进而求出四边形ABDE的面积=△ABE的面积+△BDE的面积．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC，
∵∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠OBD，
∴OB=OD，
∵AD=BC=BE，
∴OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠OAE=∠ODB，
∴AE∥BD，
∵AB=CD=DE，
∴四边形ABDE是等腰梯形；

（2）过A点作△ABE的高AF．
直角△BCD中，∵∠C=90°，∠DBC=30°，CD=AB=2，
∴BC=2

3

．
∵△BED≌△BCD，
∴∠DBE=∠DBC=30°，BE=BC=2

3

，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBE-∠DBC=30°，
∵△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，
∴AF=

1

2

AB=1．
∴△ABE的面积=

1

2

×BE×AF=

1

2

×2

3

×1=

3

，
△BED的面积=△BCD的面积=

1

2

×2

3

×2═2

3

，
∴四边形ABDE的面积=△ABE的面积+△BDE的面积=

3

+2

3

=3

3

．

点评：此题考查了矩形的性质，等腰梯形的判定，折叠的性质以及面积的计算等知识，综合性很强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．