Question

如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．

（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B₁D₁C₁的位置，则四边形ABC₁D₁是平行四边形吗？为什么？
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC₁D₁有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）．

Answer 1

分析：（1）根据四条边都相等的四边形ABCD是菱形证明即可；
（2）四边形ABC₁D₁是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC₁D₁有可能是矩形，此时此时，∠D₁BC₁=30°，∠D₁C₁B=90°，C₁D₁=1，利用在直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半即可求出点B移动的距离．

解答：解：（1）四边形ABCD是菱形；
理由如下：
∵△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
∴AB=AD=CD=BC=DB，
∴AB=AD=CD=BC，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）四边形ABC₁D₁是平行四边形．
理由：∵∠ABD₁=∠C₁D₁B=60°
∴AB∥C₁D₁，
又∵AB=C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

（3）四边形ABC₁D₁有可能是矩形．
此时，∠D₁BC₁=30°，∠D₁C₁B=90°，C₁D₁=1
∴BD₁=2，
又∵B₁D₁=1，
∴BB₁=1，
即点B移动的距离是1．

点评：本题考查了等边三角形的性质、菱形的判定和性质矩形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握特殊平行四边形的判定定理是解此题的关键．