Question

12．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△AED对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②FG=FC；③AG∥CF；④S_△FGC=$\frac{18}{5}$，其中正确结论是①③④（填序号）．

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF，通过证明△GCF不是等边三角形，得到FG≠FC；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，直接根据两个三角形之间关系即可得到答案．

解答 解：①正确．
理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②错误；③正确．
理由：
EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3=6-3=GC，
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；③正确；
∵BG=CG，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠AGB=2，
∴∠AGB≠60°，
∵AG∥CF，
∴∠FCG=∠AGB≠60°，
∴△GCF不是等边三角形，
∴FG≠FC，②错误
④正确．
理由：
∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$．
故④正确．
∴正确的个数有3个．
故答案为①③④．

点评 本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．