Question

已知：如图，抛物线y=ax²-5ax+b+与直线y=x+b交于点A（-3，0）、点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上有一点D，使得△DAB的面积是8，求点D的坐标；
（3）若点P是直线x=1上一点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（-3，0）代入，
，
得，
则抛物线解析式为，
直线AB的解析式为，
得：B（5，4），C（0，4）；

（2）如图，设点D的横坐标为t（-3＜t＜5），
则点D的纵坐标为．过点D作y轴的平行线交AB于E，
∴点E的坐标为，
∴，
∴，
解得t₁=-1，t₂=3，
∴D₁（-1，3），D₂（3，5）；

（3）存在符合条件的点P共有4个．以下分三类情形探求．
由A（-3，0），B（5，4），C（0，4），可得BC∥x轴，BC=AC，
设直线x=1与x轴交于N，与CB交于M，
过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=4，BM=4，
①以AB为腰且顶角为∠A：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80，
在Rt△ANP₁中，
，
∴P₁（1，-8）或P₁′（1，8），
②以AB为腰且顶角为∠B：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中，，
∴P₂（1，-4）或P₂′（1，12），
③以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即△P₃AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P₃，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P₃作P₃K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴．
∵P₃K=1，
∴CK=2，于是OK=2，
∴P₃（1，2），
而P₃（1，2）在线段AB上，构不成三角形，舍去．
综上，符合条件的点P共有4个，分别为：P₁（1，-8），P₁′（1，8），P₂（1，-4），P₂′（1，12）．
分析：（1）根据抛物线y=ax²-5ax+b+与直线y=x+b交于点A（-3，0），将A点的坐标值代入，首先确定b值，再确定出a值．进而得到抛物线与直线的解析式．
（2）假设点D的横坐标为t（-3＜t＜5），因为点D在抛物线y=ax²-5ax+b+上，所以点D的纵坐标为．再过点D作y轴的平行线交AB于E．因而点D、点E的横坐标相同，且纵坐标可以通过直线AB的解析式表示出来．因而S_△DAB就可以通过DE的距离（点D、E纵坐标的差值的绝对值）与点A、B横坐标的差值绝对值表示出来．
（3）存在符合条件的点P共有3个．因而分三类情形探求．
①以AB为腰且顶角为∠A：△P₁AB；②以AB为腰且顶角为∠B：△P₂AB；③以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即△P₃AB．
综上得出符合条件的点．
点评：（1）考查的是用待定系数法求抛物线与直线的解析式．
（2）根据三角形的面积求动点坐标，主要是找到变化量、及不变量，进而得到动点坐标．
（3）是一道难度较大的二次函数题，综合考查了等腰三角形的性质，需根据三角形的顶点分类讨论，全面考虑点P所在位置的各种情况．