Question

设直线y=kx+b与抛物线y=ax²的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，且直线与x轴交点的横坐标为x₃，求证：

1

x1

+

1

x2

=

1

x3

．

Answer 1

分析：先将直线y=kx+b与抛物线y=ax²联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与x的交点横坐标，结论得证．

解答：解：由题意得x₁和x₂为方程kx+b=ax²的两个根，即ax²-kx-b=0，
∴x1+x2=

k

a

，x1x2=-

b

a

；
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

k

b

；
∵直线与x轴交点的横坐标为：x₃=-

b

k

，
∴

1

x3

=-

k

b

；
∴

1

x1

+

1

x2

=

1

x3

．

点评：此题考查了函数与方程的关系，证明时利用一元二次方程根与系数的关系将原式转化，得到关于k、b的表达式是证明的关键．证明思路可简单表达为：抓两头，凑中间．