Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点O，以直线O₁O₂为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O₁相切于点A，与⊙O₂相切于点B，直线AB交y轴于点c，若OA=3，OB=3．
（1）求经过O₁、C、O₂三点的抛物线的解析式；
（2）设直线y=kx+m与（1）中的抛物线交于M、N两点，若线段MN被y轴平分，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点D在y轴负半轴上．当点D的坐标为何值时，四边形MDNC是矩形？

Answer 1

解：（1）如图，
连接HA，BK．
∵AB、OC是两圆的公切线，
∴OC=AC=BC；
∴∠AOB=90°，
∴AB==6
∴OC=3
∴C（0，3）；
∵HO是⊙O₁的直径，
∴∠HAO=∠AOB=90°；
∵AB是⊙O₁的切线，
∴∠BAO=∠OHA，
∴△AOH∽△OBA，
∴
∴
∴
∴O1的坐标是（-3，0）
设经过O₁、C、O₂三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c；
∴由c=3，0=27a-3，0=3a+b+c
可得a=-，b=-，c=3
∴；

（2）设直线y=kx+m与y轴交于点P（0，m），交抛物线于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
分别由M、N向y轴引垂线，垂足为E、F；
∵MP=NP，∠MPE=∠NPF，∠MEP=∠NFP=90°，
∴△MPE≌△NPF，
∴ME=NF，即|x₁|=|x₂|；
又∵M、N在y轴两侧，
∴x₁、x₂异号，
∴x₁+x₂=0；
设
消去y并整理，得x²+（3k+2）x+3（m-3）=0
∴
∵x₁+x₂=0
∴
∴

（3）过M作NF的垂线，交NF的延长线于G．
则NG=|x₁-x₂|==
MG=|y₁-y₂|=|k（x₁-x₂）|==
∴MN²=NC2+MG²=28（3-m），
∴
∵四边形MDNC是矩形，
∴
又∵PC=|3-m|，
∴
∴m²+m-12=0，
∴m=-4或m=3（舍去，
∵点D在y轴负半轴上）；
∴PC=7，
∴PD=7；
∴OD=OP+PD=11，
∴D（0，-11）；
即当点D的坐标为（0，-11）时，四边形MDNC为矩形．
分析：（1）由于CO、AB都是两圆的切线，根据切线长定理可求得OC=AC=BC，即可得到∠AOB=90°，在Rt△AOB中，根据勾股定理可求出AB的长，进而可得到OC的值，即C点的坐标；连接HA，证△HAO∽△AOB，通过相似三角形得到的比例线段即可求出OH的长，由此可求得O₁的坐标，同理可求出O₂的坐标，进而可用待定系数求出抛物线的解析式；
（2）过M、N分别作y轴的垂线，设垂足为E、F，若MN被y轴平分，那么MP=PN，可证得△MPE≌△NPF，由此得到M、N的横坐标互为相反数，即两者的和为0；可联立直线与抛物线的解析式，可得到关于x的一元二次方程，那么M、N两点的横坐标即为方程的两个根，已求得两根的和为0，可根据韦达定理求出k的值；
（3）根据M、N的坐标可求出MN的长，若四边形MDNC是矩形，那么对角线MN、CD相等且互相平分，则PC=12MN，由此可求出待定系数m的值，进而可求出PC、PD的长，也就能得到D点的坐标．
点评：此题主要考查了相切两圆的性质，切线长定理，直角三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性质，以及矩形的判定等，综合性强，难度较大．