Question

13．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-$\frac{4}{3}$x+4分别交x轴，y轴于点A，B，直线A′B′分别交x轴，y轴于点B′，A′，且△AOB≌△A′OB′．
（1）求直线A′B′的函数解析式．
（2）直线A′B′与直线1交于点C，求△A′BC的面积．

Answer 1

分析 （1）由直线l的函数解析式求得A、B两点坐标，根据全等三角形的对应边相等得出A'、B'两点坐标，待定系数法求得直线A'B'的解析式；
（2）联立两直线的解析式，求出C点坐标，再计算出△A'BC的面积．

解答 解：（1）由直线l：y=-$\frac{4}{3}$x+4分别交x轴，y轴于点A、B．
可知：A（3，0），B（0，4）；
∵△AOB≌△A′OB′，
∴A′（0，-3），B′（4，0）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b（k≠0，k，b为常数）
∴有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$
∴直线A′B′的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3

（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{84}{25}}\\{y=-\frac{12}{25}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{84}{25}$，-$\frac{12}{25}$），
又A′B=7，
∴S_△A′BC=$\frac{1}{2}$×7×$\frac{84}{25}$=$\frac{294}{25}$．

点评 本题考查了两直线相交或平行的问题，根据全等三角形的性质得出点A′、B′的坐标，待定系数法求出直线A′B′的解析式是解答此题的关键．