Question

51、如图所示，从△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

Answer 1

分析：（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．
（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．

解答：解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：
∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA
∴∠DBE=∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
又∵△ACF是等边三角形
∴AC=AF
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四边形ADEF为平行四边形，
AD=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°
∵∠DAB=∠FAC=60°
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°
∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

点评：本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．