如图.对正方形纸片ABCD进行如下操作:(1)过点D任作一条直线与BC边相交于点E1.记∠CDE1=a1,(2)作∠ADE1的平分线交AB边于点E2.记∠ADE2=a2,(3)作∠CDE2的平分线交BC边于点E3.记∠CDE3=a3,按此作法从操作(2)起重复以上步骤.得到a1.a2.-.an.-.现有如下结论:①当a1=10°时.a2=40°,②2a4+a3=90°, � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：

（1）过点D任作一条直线与BC边相交于点E₁（如图①），记∠CDE₁=a₁；
（2）作∠ADE₁的平分线交AB边于点E₂（如图②），记∠ADE₂=a₂；
（3）作∠CDE₂的平分线交BC边于点E₃（如图③），记∠CDE₃=a₃；
按此作法从操作（2）起重复以上步骤，得到a₁，a₂，…，a_n，…，现有如下结论：
①当a₁=10°时，a₂=40°；
②2a₄+a₃=90°；
③当a₅=30°时，△CDE₉≌△ADE₁₀；
④当a₁=45°时，BE₂=$\sqrt{2}$AE₂．
其中正确的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

分析 ①根据角平分线的定义计算即可；
②根据题意、结合图形计算；
③根据全等三角形的判定定理证明；
④作E₂F⊥BD于F，根据等腰直角三角形的性质得到BE₂=$\sqrt{2}$FE₂，根据角平分线的性质得到AE₂=FE₂，等量代换即可．

解答解：①当a₁=10°时，a₂=$\frac{90°-10°}{2}$=40°，①正确；
②由图③可知，2a₄+a₃=90°，②正确；
③当a₅=30°时，a₉=30°，a₁₀=30°，
在△CDE₉和△ADE₁₀中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CD{E}_{9}=∠AD{E}_{10}}\\{∠C=∠A}\\{DC=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDE₉≌△ADE₁₀，③正确；
④当a₁=45°时，点E₁与点B重合，
作E₂F⊥BD于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴BE₂=$\sqrt{2}$FE₂，
∵DE₂平分∠ADB，E₂F⊥BD，∠A=90°，
∴AE₂=FE₂，
∴BE₂=$\sqrt{2}$AE₂，④正确，
故选：D．

点评本题考查的是正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等、全等三角形的判定定理是解题的关键．

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D．

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B．

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（2）如图2，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM=ON，∠OMP+∠ONP=180°，E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，（1）中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM=ON，∠OMP+∠ONP=180°，E、F分别为线段PM、NP延长线上的点，且∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，（1）中线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．