Question

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点，CP=CD．求证：△DBP是等腰三角形．

Answer 1

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是中线，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∵CP=CD，
∴∠CPD=∠CDP，
又∵∠ACB=∠CPD+∠CDP=60°，
∴∠CPD=30°，
∴∠CPD=∠DBC，
∴DB=DP，
∴△DBP是等腰三角形．
分析：由△ABC是等边三角形可以得到∠ABC=∠ACB=60°，又BD是中线，根据等腰三角形的性质可以得到BD⊥AC于D，然后即可得到∠DBC=30°，而CP=CD，再利用等腰三角形的性质可以得到∠CDP=∠P=30°，然后利用等腰三角形的判定即可证明结论．
点评：此题主要考查了等腰三角形的判定和性质及等边三角形的性质；解本题要充分利用已知条件，选择适当的方法证明是等腰三角形，求得∠CPD=30°是解答本题的关键．