Question

13．已知关于x的一元二次方程（a-c）x²-2bx+（a+c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据根的定义，把x=1代入即可得出△ABC的形状；
（2）根据根的判别式得出b²-4ac=0，即可得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．

解答 解：（1）∵x=1是一元二次方程（a-c）x²-2bx+（a+c）=0的根，
∴（a-c）-2b+（a+c）=0，
∴a=b，
∵a-c≠0，
∴a≠c，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=0，
即4b²-4（a+c）（a-c）=0，
∴b²+c²=a²，
∴△ABC为直角三角形．

点评 本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握各个定理的内容是解题的关键．