Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线交AD于E，EF∥BC，交AC于点F，你能猜想出线段AE与CF的数量关系吗？请说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：延长FE交AB于G．作GH∥AC交BC于H．连接EH，得出四边形FGHC为平行四边形，得出GH=CF．∠FCD=∠EGH，进而求得∠HGF=∠BAD，得出∠BGH=90°，根据，∠ABC的角平分线交AD于E，EF∥BC，得出GE=GB，∠AGE=∠ABD，最后通过△AGE≌△DBG求得结论．

解答：解：AE=CF，
理由：延长FE交AB于G．作GH∥AC交BC于H．连接EH，
∵EF∥BC，
∴FG∥BC．
∴四边形FGHC为平行四边形，
∴GH=CF．∠FCD=∠EGH，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的高，
∴∠ACB=∠BAD，
∴∠EGH=∠BAD，
∵FG∥BC．AD⊥BC，
∴∠AEG=90°，
∴∠BAD+∠AGE=90°，
∴∠EGH+∠AGE=90°，
即∠AGH=90°，
∵GF∥BC，
∴∠GED=∠EBD，∠AGE=∠ABD，
∵∠GBE=∠EBD，
∴∠GBE=∠GEB，
∴GE=GB，
在△AGE和△DBG中

∠AGE=∠B ∠AEG=∠ADB=90° GE=GB

∴△AGE≌△DBG（AAS），
∴GH=AE，
∴AE=CF．

点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建平行四边形是本题的关键．