Question

8．求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法--更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
解：
91-56=35
56-35=21
35-21=14
21-14=7
14-7=7
所以91与56的最大公约数是7．
请用以上方法解决下列问题：
（1）求216与135的最大公约数；
（2）求三个数156，52，143的最大公约数．

Answer 1

分析 （1）根据题目中例子可以求得216与135的最大公约数；
（2）根据题目中的例子可以先分别求得其中每两个数的最大公约数，然后再求公约数的最大公约数，即可解答本题．

解答 解：（1）216-135=81，
135-81=54，
81-54=27，
54-27=27，
∴216与135的最大公约数是27；

（2）156-143=13，
143-13=130，
130-13=117，
117-13=104，
104-13=91，
91-13=78，
78-13=65，
65-13=52，
52-13=39，
39-13=26，
26-13=13，
∴156与143的最大公约数是13，
∵143-52=91，
91-52=39，
52-39=13，
39-13=26，
26-13=13，
∴143与52的最大公约数是13，
∵156-52=104，
104-52=52，
∴156与52的最大公约数是52，
∵52-13=39，
39-13=26，
26-13=13，
∴52与13的最大公约数是13，
∴数156，52，143的最大公约数是13．

点评 本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，运用题目中例子的解答方法解答本题．