Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H．
（1）求证：△AEG∽△CHG；
（2）若BC=1，求cos∠CHG的值．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠EAG=∠D=60°；
根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°，
又∵∠EGA=∠HGC，
∴△AEG∽△CHG．

（2）解：△ABC中，∠BAC=30°，BC=1，则AC=，AB=2；
故AD=AB=2；
设DE=EC=x，则AE=2-x；
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：
（2-x）²+3=x²，解得x=；
∴AE=，EC=，
∴cos∠AEC==；
由（1）的相似三角形知：∠AEG=∠CHG，
故cos∠CHG=cos∠AEC=．
分析：（1）由于△ABD是等边三角形，那么∠D=∠EAG=60°，根据折叠的性质知：∠D=∠GCH=∠AEG=60°，再加上对顶角∠EGA=∠HGC，即可证得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，已知了BC的长和∠BAC的度数，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可得到∠AEG的余弦值，而根据（1）的相似三角形知∠AEG=∠CHG，由此得解．
点评：此题考查的知识点有：等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换以及锐角三角函数的定义等知识，难度适中．