Question

16．如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以 OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E．已知BC=$\sqrt{3}$，AC=3．
（1）求AD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD=BC，进而由AD=AB-BD可求出；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

解答 解：
（1）在Rt△ABC中，∵BC=$\sqrt{3}$，AC=3．
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD=BC，
∴AD=AB-BD=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；

（2）在Rt△ABC中，
∵sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD=90°-∠A=60°，
∵$\frac{OD}{AD}$=tanA=tan30°，
∴$\frac{OD}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=1，
∴S_阴影=$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．