Question

如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.

(1)求证：DF垂直平分AC；

（2）求证：FC＝CE；

（3）若弦AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径.

Answer 1

证明：（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O

∴DF⊥DE

又∵AC∥DE

∴DF⊥AC

∴DF垂直平分AC

（2）由（1）知：AG=GC

又∵AD∥BC

∴∠DAG=∠FCG

又∵∠AGD=∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA）

∴AD=FC

∵AD∥BC且AC∥DE

∴四边形ACED是平行四边形

∴AD=CE

∴FC=CE

（3）连结AO； ∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm

在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm

设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3

在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2=OG2+AG

有：r2=(r-3)2+42解得 r=256

∴⊙O的半径为256cm.