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已知一元二次方程x2axa-2=0.

(1)求证:不论a为何实数,此方程总有两个不相等的实数根;

(2)设a<0,当二次函数yx2axa-2的图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式;

(3)在(2)的条件下,若此二次函数图象与x轴交于AB两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由.

【解析】(1)判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了,(2)根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可.(3)是二次函数综合应用问题和三角形的综合应用

 

(1)因为△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以不论a为何实数,此方程总有两个不相等的实数根.

(2)设x1x2yx2axa-2=0的两个根,则x1x2=-ax1x2a-2,因两交点的距离是

所以|x1x2|=.即:(x1x2)2=13

变形为:(x1x2)2-4x1x2=13所以:(-a)2-4(a-2)=13

整理得:(a-5)(a+1)=0解方程得:a=5或-1

又因为:a<0,所以:a=-1

所以:此二次函数的解析式为yx2x-3.

(3)设点P的坐标为(x0y0),因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于

所以:AB所以:SPABAB•|y0|=

所以:

 

即:|y0|=3,则y0=±3

y0=3时,x02x0-3=3,即(x0-3)(x0+2)=0

解此方程得:x0=-2或3

y0=-2时,x02x0-3=-3,即x0(x0-1)=0

解此方程得:x0=0或1

综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(-2,3),(3,3),(0,-3)或(1,-3).

 

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