Question

某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼B楼C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．

方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；

方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．

(1)若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？

(2)若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？

(3)在(2)的情况下，若A楼每天取奶的人数增加(增加的人数不超过22人)，那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米， ①当0≤x≤40时，y＝20x＋70(40－x)＋60(100－x)＝－110x＋8800，∴当x＝40时，y的最小值为4400，②当40＜x≤100时，y＝20x＋70(x－40)＋60(100－x)＝30x＋3200，此时，y的值大于4400，因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处; 　　(2)设取奶站建在距A楼x米处，①当0≤x≤40时，20x＋60(100－x)＝70(40－x)，解得x＝－＜0(舍去)；②当40＜x≤100时，20x＋60(100－x)＝70(x－40)，解得x＝80．因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80米处; 　　(3)设A楼取奶人数增加a人，①当0≤x≤40时，(20＋a)x＋60(100－x)＝70(40－x)，解得x＝－(舍去)，②当40＜x≤100时．(20＋a)x＋60(100－x)＝70(x－40)，解得x＝，∴当a增大时，x增大，∴当A楼取奶的人数增加时．按照方案二建奶站，取奶站仍建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远．