Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（1，0）和（x₁，0），其中-2＜x₁＜-1，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：

①b＞0；②；③a＞b；④-a＜c＜-2a．

其中所有正确结论的序号是________．

Answer 1

②④
分析：根据与坐标轴的交点判断出a＜0，然后把交点坐标（1，0）代入函数解析式求出a、b、c的关系式，再判断出对称轴在-到0之间，然后对各小题分析判断即可得解．
解答：∵抛物线与x轴的交点为（1，0）和（x₁，0），-2＜x₁＜-1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，
∵-2＜x₁＜-1，
∴-＜-＜0，
∴b＜0，b＞a，故①错误，③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
∴ac＜b²，故②正确；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（1，0），
∴a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∵b＜0，b＞a（已证），
∴-a-c＜0，-a-c＞a，
∴c＞-a，c＜-2a，
∴-a＜c＜-2a，故④正确，
综上所述，正确的结论有②④．
故答案为：②④．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键，结论④的判断有点难度，先根据与x轴的交点坐标求出b=-a-c是关键．