Question

5．如图，已知⊙O的半径为R，直径AB⊥直径CD，以B为圆心，以BD为半径作⊙B交AB于E，交AB的延长线于F，连接DB并延长交⊙O于M，连接MA交⊙O于N，交CD于H，交⊙B于G．
（1）求图中阴影部分的面积S；
（2）求证：HA•HN=HG•HM．

Answer 1

分析 （1）连接BC，由直径AB⊥直径CD，得到∠DBC=90°，于是得到BD=$\sqrt{2}$R，求出S_弓形DEC=S_扇形BDC-S_△BDC=$\frac{90•π•（\sqrt{2}R）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}R•\sqrt{2}R$=$\frac{π}{2}{R}^{2}$-R²，于是求得S_阴影=S_半圆-S_弓形DEC=$\frac{1}{2}π{R}^{2}$-（$\frac{π}{2}{R}^{2}$-R²）=R²；
（2）根据相交弦定理和等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）连接BC，
∵直径AB⊥直径CD，
∴∠DBC=90°，
∵OB=R，
∴BD=$\sqrt{2}$R，
∴S_弓形DEC=S_扇形BDC-S_△BDC=$\frac{90•π•（\sqrt{2}R）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}R•\sqrt{2}R$=$\frac{π}{2}{R}^{2}$-R²，
∴S_阴影=S_半圆-S_弓形DEC=$\frac{1}{2}π{R}^{2}$-（$\frac{π}{2}{R}^{2}$-R²）=R²；

（2）在⊙O中，由相交弦定理得：AH•HN=CH•DH，
在⊙B中，由相交弦定理得：CH•DH=GH•HM，
∴AH•HN=GH•HM．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，相交弦定理，扇形的面积，等腰直角三角形的面积，熟练掌握各定理是解题的关键．